Définition
Pour un nombre a a a n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1
a n = a × a × ⋯ × a ⏟ n facteurs a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}} a n = n facteurs a × a × ⋯ × a
On lit "a a a exposant n n n a a a puissance n n n
Cas particuliers.
a 1 = a a^1 = a a 1 = a a 0 = 1 a^0 = 1 a 0 = 1 a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 a 2 a^2 a 2 a a a a 3 a^3 a 3 a a a
Puissances de 10
10 n = 1 0 0 ⋯ 0 ⏟ n z e ˊ ros 10^n = 1\underbrace{0\,0\,\cdots\,0}_{n \text{ zéros}} 1 0 n = 1 n z e ˊ ros 0 0 ⋯ 0
Et pour n n n 10 − n = 1 10 n 10^{-n} = \dfrac{1}{10^n} 1 0 − n = 1 0 n 1
n n n 10 n 10^n 1 0 n 10 − n 10^{-n} 1 0 − n 1 1 1 10 10 10 0,1 0{,}1 0 , 1 2 2 2 100 100 100 0,01 0{,}01 0 , 01 3 3 3 1000 1000 1000 0,001 0{,}001 0 , 001 6 6 6 1 000 000 1\,000\,000 1 000 000 0,000 001 0{,}000\,001 0 , 000 001
Règles de calcul
Pour a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 m , n m, n m , n
Règle Formule Produit a m × a n = a m + n a^m \times a^n = a^{m+n} a m × a n = a m + n Quotient a m a n = a m − n \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} a n a m = a m − n Puissance d'une puissance ( a m ) n = a m × n (a^m)^n = a^{m \times n} ( a m ) n = a m × n Produit élevé à une puissance ( a × b ) n = a n × b n (a \times b)^n = a^n \times b^n ( a × b ) n = a n × b n Inverse a − n = 1 a n a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} a − n = a n 1
Exemples
10 3 × 10 5 = 10 8 10 7 10 4 = 10 3 ( 10 2 ) 3 = 10 6 10^3 \times 10^5 = 10^8 \qquad \frac{10^7}{10^4} = 10^3 \qquad (10^2)^3 = 10^6 1 0 3 × 1 0 5 = 1 0 8 1 0 4 1 0 7 = 1 0 3 ( 1 0 2 ) 3 = 1 0 6
Écriture scientifique
Tout nombre décimal positif non nul s'écrit de manière unique sous la forme :
a × 10 n a \times 10^n a × 1 0 n 1 ≤ a < 10 1 \leq a < 10 1 ≤ a < 10 n n n
Exemples
3 400 000 = 3,4 × 10 6 3\,400\,000 = 3{,}4 \times 10^6 3 400 000 = 3 , 4 × 1 0 6
0,000 52 = 5,2 × 10 − 4 0{,}000\,52 = 5{,}2 \times 10^{-4} 0 , 000 52 = 5 , 2 × 1 0 − 4
Astuce. On déplace la virgule pour qu'un seul chiffre non nul se trouve avant. Le nombre de pas devient l'exposant (positif si on a déplacé vers la gauche, négatif vers la droite).
3 400 000 = 3,4 × 10⁶ 6 pas À retenir
a n a^n a n n n n a a a a 0 = 1 a^0 = 1 a 0 = 1 a m × a n = a m + n a^m \times a^n = a^{m+n} a m × a n = a m + n ( a m ) n = a m ⋅ n (a^m)^n = a^{m \cdot n} ( a m ) n = a m ⋅ n 10 − n = 1 10 n 10^{-n} = \dfrac{1}{10^n} 1 0 − n = 1 0 n 1 Écriture scientifique : a × 10 n a \times 10^n a × 1 0 n 1 ≤ a < 10 1 \leq a < 10 1 ≤ a < 10