Calcul littéral : développement

Vocabulaire

• Une expression littérale contient des lettres représentant des nombres.
• Réduire une expression : la simplifier en regroupant les termes semblables.
• Développer : transformer un produit en somme.
• Factoriser : transformer une somme en produit.

Distributivité simple

$k(a + b) = k \times a + k \times b \qquad k(a - b) = k \times a - k \times b$

Exemple — développement

$3(x + 5) = 3x + 15$

$-2(x - 4) = -2x + 8$

Attention au signe quand $k$ est négatif !

Double distributivité

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemple

$(x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$

Factorisation par facteur commun

$ka + kb = k(a + b)$

On repère un facteur présent dans tous les termes et on le met en facteur.

Exemples

$6x + 9 = 3(2x + 3)$

$x^2 + 5x = x(x + 5)$

$2x(x+1) - 3(x+1) = (x+1)(2x - 3)$

Réduction d'une expression

On regroupe les termes "en $x$" entre eux et les nombres entre eux.

Exemple

$3x + 5 - 7x + 2 = (3 - 7)x + (5 + 2) = -4x + 7$

Tester une égalité

Une égalité $A(x) = B(x)$ est vraie pour certaines valeurs de $x$ seulement (sauf cas particulier où elle est vraie pour tout $x$).

Pour vérifier qu'une valeur est solution : on remplace $x$ par cette valeur dans les deux membres et on compare.

Exemple

$x = 4$ est-il solution de $3x - 5 = x + 3$ ?

• Membre de gauche : $3 \times 4 - 5 = 7$.
• Membre de droite : $4 + 3 = 7$.
• $7 = 7$ ⇒ oui, $x = 4$ est solution.

À retenir

• Développer : $k(a+b) = ka + kb$ et double distributivité.
• Factoriser : repérer un facteur commun, le mettre devant.
• Réduire : regrouper les termes semblables.
• Pour tester une égalité : remplacer la lettre par la valeur.