Équations du premier degré

Définition

Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent notée $x$).

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'égalité est vraie.

Règles de manipulation

Une égalité reste vraie si :

• on ajoute ou on soustrait le même nombre aux deux membres ;
• on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.

Méthode pour les équations du premier degré

Stratégie. Tout faire pour isoler $x$ d'un côté du signe $=$.

1. Si nécessaire, développer les deux membres.
2. Regrouper les termes en $x$ d'un côté, les nombres de l'autre.
3. Diviser par le coefficient de $x$.

Exemple 1 — équation simple

Résoudre $3x + 5 = 17$.

$3x + 5 = 17$ $3x = 17 - 5 = 12$ $x = \frac{12}{3} = 4$

Vérification : $3 \times 4 + 5 = 17$. ✓

Exemple 2 — inconnue des deux côtés

Résoudre $5x - 3 = 2x + 9$.

$5x - 2x = 9 + 3$ $3x = 12$ $x = 4$

Exemple 3 — avec parenthèses

Résoudre $2(x + 1) = 3x - 4$.

$2x + 2 = 3x - 4$ $2 + 4 = 3x - 2x$ $6 = x$

Cas particuliers

• Aucune solution : on aboutit à une égalité fausse, par exemple $0 = 5$.
• Infinité de solutions : on aboutit à une égalité toujours vraie, par exemple $0 = 0$.

Mise en équation d'un problème

Méthode.

1. Choisir l'inconnue (ce que l'on cherche) et la nommer.
2. Traduire l'énoncé par une égalité.
3. Résoudre l'équation.
4. Conclure en répondant à la question.

Exemple

Pierre a 3 ans de plus que Julie. À eux deux, ils ont 27 ans. Quel est l'âge de Julie ?

• Soit $x$ l'âge de Julie.
• L'âge de Pierre est $x + 3$.
• Équation : $x + (x + 3) = 27$.
• Résolution : $2x + 3 = 27 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12$.
• Julie a 12 ans (et Pierre a 15 ans).

À retenir

• Une égalité reste vraie si on fait la même opération des deux côtés.
• Méthode : isoler $x$, en passant les nombres de l'autre côté.
• Toujours vérifier la solution en remplaçant.
• Pour un problème : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, conclure.