Probabilités : événements composés

Rappel — vocabulaire

• Expérience aléatoire : résultat dépend du hasard.
• Issue : un résultat possible.
• Événement : un ensemble d'issues.
• Probabilité $P(A)$ : nombre dans $[0, 1]$.

$P(A) = 0$ : impossible. $P(A) = 1$ : certain.

Cas équiprobable

$P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas total}}$

Événement contraire

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Événements composés — « $A$ et $B$ »

Pour les événements liés à deux expériences successives (ou « simultanées »), on utilise un arbre de probabilité ou un tableau.

Arbre des possibilités

Pour deux pièces lancées :

Calcul sur l'arbre

Sur chaque branche, on inscrit la probabilité. Pour calculer la probabilité d'un chemin (ex. PP) : on multiplie les probabilités des branches. Pour un événement formé de plusieurs chemins : on additionne les probabilités des chemins.

Exemple — deux pièces équilibrées

• $P(\text{PP}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.
• $P(\text{exactement un Pile}) = P(\text{PF}) + P(\text{FP}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$.
• $P(\text{au moins un Pile}) = 1 - P(\text{FF}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Pour deux événements incompatibles : $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$

Exemple — un seul dé

$A$ = « obtenir un $1$ », $B$ = « obtenir un $6$ ».

• Incompatibles : oui.
• $P(A \cup B) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Tirage avec / sans remise

Avec remise. Les tirages sont indépendants (les probabilités ne changent pas).

Sans remise. Le second tirage dépend du résultat du premier (l'urne contient une boule de moins).

Exemple — sans remise

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ noires. On tire successivement deux boules sans remise. Probabilité de deux rouges ?

$P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

À retenir

• Probabilité d'un chemin : on multiplie les branches.
• Probabilité d'un événement = somme des chemins favorables.
• $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
• Tirage sans remise : les probabilités du 2ᵉ tirage changent.