Statistiques : médiane, quartiles, étendue

Indicateurs de tendance centrale

Moyenne

$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}$

Médiane

Valeur centrale de la série ordonnée.

Au moins $50\%$ des valeurs sont $\leq M$, et au moins $50\%$ sont $\geq M$.

Quartiles

Définitions.

• Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins $\mathbf{25\%}$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.
• Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur pour laquelle au moins $\mathbf{75\%}$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Méthode pratique. Pour une série ordonnée de $N$ valeurs :

• $Q_1$ = valeur de rang $\lceil N/4 \rceil$.
• $Q_3$ = valeur de rang $\lceil 3N/4 \rceil$.

($\lceil x \rceil$ signifie « arrondi à l'entier supérieur »)

Exemple

Série de $20$ valeurs ordonnées : $4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 20$

• $N/4 = 5$ ⇒ $Q_1 = 5^{\text{e}}$ valeur $= 8$.
• $3N/4 = 15$ ⇒ $Q_3 = 15^{\text{e}}$ valeur $= 14$.
• Médiane = moyenne des $10^{\text{e}}$ et $11^{\text{e}}$ valeurs $= \dfrac{11 + 12}{2} = 11{,}5$.

Indicateurs de dispersion

Étendue

Étendue = max − min.

Écart interquartile

$\boxed{Q_3 - Q_1}$

L'écart interquartile mesure la dispersion de la moitié centrale des données. Il est moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue.

Exemple (suite)

• Étendue : $20 - 4 = 16$.
• Écart interquartile : $14 - 8 = 6$.

Diagramme en boîte (boîte à moustaches)

Représentation visuelle de la distribution :

• moustaches : min et max,
• boîte : $Q_1$ et $Q_3$,
• trait dans la boîte : médiane.

Choisir un indicateur

À retenir

• $Q_1$ : au moins $25\%$ des valeurs $\leq Q_1$.
• $Q_3$ : au moins $75\%$ des valeurs $\leq Q_3$.
• Écart interquartile $= Q_3 - Q_1$ : dispersion centrale.
• Boîte à moustaches : visualisation de min, $Q_1$, médiane, $Q_3$, max.