Théorème de Pythagore (consolidation)

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC$ est l'hypoténuse et :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Calculer une longueur

Exemple : $ABC$ est rectangle en $A$, $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.

$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$BC = \sqrt{100} = 10$

Donc $BC=10$ cm.

Réciproque

Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Exemple :

$5^2 = 3^2 + 4^2$

car $25 = 9 + 16$.

Le triangle de côtés $3$, $4$ et $5$ est donc rectangle.

Contraposée

Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.

À retenir

• Théorème : dans un triangle rectangle, hypoténuse au carré = somme des carrés des deux autres côtés.
• Réciproque : l'égalité permet de prouver qu'un triangle est rectangle.
• Contraposée : si l'égalité est fausse, le triangle n'est pas rectangle.