Priorités opératoires et distributivité

Rappel des priorités

Dans une expression numérique, on effectue dans l'ordre :

1. les calculs entre parenthèses ;
2. les multiplications et divisions (de gauche à droite) ;
3. les additions et soustractions (de gauche à droite).

Distributivité simple

Pour tout nombre $k, a, b$ :

$\boxed{\; k \times (a + b) = k \times a + k \times b \;}$ $\boxed{\; k \times (a - b) = k \times a - k \times b \;}$

On dit qu'on distribue le facteur $k$ sur la somme (ou la différence).

Exemple — calcul mental

$25 \times 12 = 25 \times (10 + 2) = 25 \times 10 + 25 \times 2 = 250 + 50 = 300$

Factoriser

C'est l'opération inverse de distribuer : on met un facteur commun en évidence.

$k \times a + k \times b = k \times (a + b)$

Exemple

$17 \times 23 + 17 \times 77 = 17 \times (23 + 77) = 17 \times 100 = 1\,700$

Schéma — distribuer / factoriser

Calcul avec des relatifs

On applique la règle des signes :

$(+) \times (+) = + \quad (+) \times (-) = - \quad (-) \times (-) = +$

(En 5e, on se limite à l'addition/soustraction de relatifs ; la multiplication arrive en 4e.)

À retenir

• PMD AS : Parenthèses → Mult/Div → Add/Sous.
• Distribuer : $k(a+b) = ka + kb$.
• Factoriser : repérer le facteur commun.