Nombres relatifs : multiplication et division

Rappel — Addition et soustraction

Multiplication de deux relatifs

Règle des signes.

• $(+) \times (+) = (+)$
• $(-) \times (-) = (+)$
• $(+) \times (-) = (-)$
• $(-) \times (+) = (-)$

On multiplie les distances à zéro, puis on applique la règle des signes.

Exemples

$(-3) \times (-7) = +21 \qquad (-4) \times (+5) = -20$

Multiplication de plusieurs facteurs

Le signe du produit dépend du nombre de facteurs négatifs :

• pair ⇒ produit positif
• impair ⇒ produit négatif

Pourquoi ? Deux signes négatifs se compensent :

$(-) \times (-) = (+)$

On peut donc regrouper les facteurs négatifs par paires. Chaque paire donne un signe positif. S'il reste un signe négatif tout seul à la fin, le produit est négatif.

Exemple

$(-2) \times (-3) \times (-5) = -30$

(trois facteurs négatifs ⇒ négatif)

Autre exemple :

$(-2) \times (-3) \times (-5) \times (-1) = +30$

(quatre facteurs négatifs ⇒ positif)

Division de deux relatifs

La règle des signes est la même que pour la multiplication.

$\frac{-12}{-3} = +4 \qquad \frac{+15}{-5} = -3$

Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse : $a \div b = a \times \frac{1}{b}$

Quotients égaux

$\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$

Et $\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}$.

À retenir

• Multiplication / division : règle des signes.
• Pour plusieurs facteurs, compter les facteurs négatifs : un nombre pair donne un produit positif, un nombre impair donne un produit négatif.
• Diviser par $b$ ⇔ multiplier par $\dfrac{1}{b}$.
• $\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}$.