Triangles : angles et inégalité

Somme des angles d'un triangle

Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut $180°$.

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$

Conséquence. Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle obtus (ou droit).

Exemple

Si $\widehat{A} = 70°$ et $\widehat{B} = 50°$, alors :

$\widehat{C} = 180° - 70° - 50° = 60°$

Inégalité triangulaire

Pour qu'un triangle de côtés $a, b, c$ existe, il faut que chaque côté soit plus court que la somme des deux autres :

$a < b + c \quad \text{et} \quad b < a + c \quad \text{et} \quad c < a + b$

En pratique, il suffit de vérifier que le plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres.

Exemple

Peut-on construire un triangle de côtés $3$, $4$, $9$ ?

• Le plus grand côté est $9$. On compare avec $3 + 4 = 7$.
• $9 > 7$ : impossible.

Triangles particuliers

Médiatrice et bissectrice

Médiatrice d'un segment

C'est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.

Elle est constituée des points équidistants des deux extrémités.

Bissectrice d'un angle

C'est la demi-droite qui partage l'angle en deux angles égaux.

À retenir

• $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$.
• Triangle existe ⇔ plus grand côté $<$ somme des deux autres.
• Équilatéral ⇒ $3$ angles de $60°$.
• Médiatrice ⇒ équidistance ; bissectrice ⇒ partage d'angle.