Trigonométrie dans le triangle rectangle

Côtés d'un triangle rectangle

À savoir. En classe de quatrième, l'attendu officiel porte sur le cosinus. Le sinus et la tangente sont souvent abordés par les professeurs dès la quatrième pour préparer la trigonométrie de troisième ; ils sont donc inclus ici comme complément.

Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu $\widehat{B}$ :

• l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long) ;
• le côté adjacent à $\widehat{B}$ est celui qui forme l'angle avec l'hypoténuse.
• le côté opposé à $\widehat{B}$ est en face de l'angle.

Définitions

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{B}$ : $\cos(\widehat{B}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

$\sin(\widehat{B}) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$

$\tan(\widehat{B}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Encadrement. Pour un angle aigu : $0 < \cos(\widehat{B}) < 1$, $0 < \sin(\widehat{B}) < 1$ et $\tan(\widehat{B}) > 0$.

Mémo : « SOH CAH TOA »

SOH = $\sin = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$.

CAH = $\cos = \dfrac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$.

TOA = $\tan = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$.

Utilisations

Calculer un côté

Dans un triangle rectangle, si on connaît un angle aigu et l'hypoténuse, on peut calculer le côté adjacent.

Exemple

$ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{B} = 35°$ et $BC = 10$ cm. Calculer $AB$.

$\cos(35°) = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{10}$

$AB = 10 \times \cos(35°) \approx 10 \times 0{,}819 \approx 8{,}19 \text{ cm}$

Avec le sinus

Si on connaît un angle aigu et l'hypoténuse, on peut aussi calculer le côté opposé.

Exemple

$ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{B} = 35°$ et $BC = 10$ cm. Calculer $AC$.

$\sin(35°) = \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{10}$

$AC = 10 \times \sin(35°) \approx 10 \times 0{,}574 \approx 5{,}74 \text{ cm}$

Avec la tangente

Si on connaît un angle aigu et le côté adjacent, on peut calculer le côté opposé.

Exemple

$ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{B} = 35°$ et $AB = 8$ cm. Calculer $AC$.

$\tan(35°) = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{8}$

$AC = 8 \times \tan(35°) \approx 8 \times 0{,}700 \approx 5{,}60 \text{ cm}$

Calculer un angle

Si on connaît deux côtés d'un triangle rectangle, on choisit le rapport adapté pour retrouver l'angle.

On utilise la touche $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de la calculatrice selon le rapport connu.

Exemple

$ABC$ rectangle en $A$, $AB = 6$ cm, $BC = 10$ cm. Calculer $\widehat{B}$.

$\cos(\widehat{B}) = \frac{6}{10} = 0{,}6$

$\widehat{B} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53{,}13°$

Réglage calculatrice. Toujours vérifier que la calculatrice est en mode degrés (DEG).

Tableau de valeurs remarquables

À retenir

• SOH CAH TOA donne les trois rapports trigonométriques dans un triangle rectangle.
• $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin(\text{angle}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan(\text{angle}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
• Pour calculer un côté, on choisit le rapport qui contient les longueurs connues et la longueur cherchée.
• Pour retrouver un angle, on utilise $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$, calculatrice en degrés.