Puissances et écriture scientifique

Définitions

Pour un nombre $a$ et un entier $n \geq 1$ :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

Pour $a \neq 0$ :

• $a^0 = 1$,
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

Propriétés

Attention : $a^m + a^n$ ne se simplifie pas en général !

Exemple

$\frac{(2^3)^4 \times 2^{-5}}{2^6} = \frac{2^{12} \times 2^{-5}}{2^6} = \frac{2^{7}}{2^6} = 2^1 = 2$

Puissances de 10

Écriture scientifique

Tout décimal positif non nul s'écrit uniquement sous la forme : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier relatif.

Exemples

• $42\,000\,000 = 4{,}2 \times 10^7$
• $0{,}000\,067 = 6{,}7 \times 10^{-5}$

Opérations en écriture scientifique

Produit / quotient. On manipule séparément les mantisses ($a$) et les puissances de 10.

Exemple — produit

$(3 \times 10^4) \times (2 \times 10^5) = (3 \times 2) \times 10^{4+5} = 6 \times 10^9$

Exemple — quotient

$\frac{8 \times 10^{12}}{2 \times 10^4} = 4 \times 10^8$

Cas où la mantisse n'est pas dans $[1, 10[$

$(5 \times 10^3) \times (4 \times 10^2) = 20 \times 10^5 = 2 \times 10^6$

On réécrit $20$ comme $2 \times 10$ pour récupérer la forme standard.

Comparaison de grands nombres

Pour comparer des nombres en écriture scientifique :

1. on regarde d'abord les puissances de 10 ;
2. en cas d'égalité d'exposant, on compare les mantisses.

Exemple

$7{,}3 \times 10^8 \quad \text{vs} \quad 1{,}9 \times 10^9$

L'exposant $9 > 8$, donc $1{,}9 \times 10^9$ est plus grand.

À retenir

• $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
• Écriture scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$.
• Pour produit/quotient : mantisses séparées, exposants additionnés/soustraits.
• Comparer : exposant d'abord, puis mantisse.