Homothéties et agrandissement-réduction

Définition

Une homothétie est définie par :

• un centre $O$,
• un rapport $k$ (nombre relatif non nul).

L'image $M'$ d'un point $M$ vérifie $\vec{OM'} = k \, \vec{OM}$.

Construction de l'image

Méthode pour construire $M'$, image de $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.

1. Tracer la droite $(OM)$.
2. Reporter $|k| \times OM$ depuis $O$ sur cette droite :
   • du même côté que $M$ si $k > 0$ ;
   • de l'autre côté si $k < 0$.

Cas particuliers

Propriétés

Une homothétie de rapport $k$ :

• multiplie les longueurs par $|k|$ ;
• conserve les angles ;
• multiplie les aires par $k^2$ ;
• multiplie les volumes par $|k|^3$ ;
• conserve l'alignement et le parallélisme.

Une figure et son image par homothétie sont semblables (de même forme, mais pas nécessairement de même taille).

Effet sur les longueurs, aires, volumes

Règle d'or.

• Longueurs : $\times |k|$
• Aires : $\times k^2$
• Volumes : $\times |k|^3$

Exemple

Une figure d'aire $20$ cm² est agrandie par une homothétie de rapport $3$. Aire de l'image ?

$\mathcal A' = 20 \times 3^2 = 180 \text{ cm}^2$

Et si c'est un solide de volume $50$ cm³ :

$V' = 50 \times 3^3 = 1350 \text{ cm}^3$

Agrandissement / réduction

Plus généralement, un agrandissement ou une réduction de rapport $k > 0$ multiplie :

• les longueurs par $k$,
• les aires par $k^2$,
• les volumes par $k^3$.

Exemple — maquette

Une maquette d'avion est à l'échelle $\dfrac{1}{50}$. Si l'aile mesure $30$ m sur l'avion réel, sur la maquette elle mesure $\dfrac{30}{50} = 0{,}60$ m $= 60$ cm.

Si la carlingue réelle a un volume de $250$ m³, le volume de la maquette est :

$V_{\text{maquette}} = 250 \times \left(\frac{1}{50}\right)^3 = \frac{250}{125\,000} = 0{,}002 \text{ m}^3 = 2 \text{ L}$

À retenir

• Homothétie : centre $O$, rapport $k$. Image $M'$ : $\vec{OM'} = k \vec{OM}$.
• $k = -1$ : symétrie centrale.
• Longueurs ×$|k|$, aires ×$k^2$, volumes ×$|k|^3$.
• Une homothétie conserve les angles et le parallélisme.