Équations et équations-produits

Équations du premier degré (rappel)

Méthode.

1. Développer si nécessaire.
2. Regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre.
3. Diviser par le coefficient de $x$.

Exemple

Résoudre $4x - 7 = 2x + 9$.

$4x - 2x = 9 + 7 \quad\Rightarrow\quad 2x = 16 \quad\Rightarrow\quad x = 8$

Équations-produits

Théorème (produit nul). Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul : $A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$

Méthode pour résoudre $A(x) \times B(x) = 0$

Résoudre séparément $A(x) = 0$ et $B(x) = 0$. Les solutions de l'équation produit sont la réunion des solutions trouvées.

Exemple 1

Résoudre $(x - 3)(x + 5) = 0$.

• $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
• $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$

Solutions : $S = \{-5 \, ; \, 3\}$.

Exemple 2

Résoudre $(2x + 1)(3x - 6) = 0$.

• $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}$
• $3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$

Solutions : $S = \left\{-\dfrac{1}{2} \, ; \, 2\right\}$.

Équations à factoriser d'abord

Si l'équation n'est pas sous forme de produit nul, on la met d'abord sous cette forme par factorisation, puis on applique la règle.

Exemple — différence de carrés

Résoudre $x^2 - 25 = 0$.

$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$

$(x - 5)(x + 5) = 0 \iff x = 5 \text{ ou } x = -5$

Exemple — facteur commun

Résoudre $3x^2 - 6x = 0$.

$3x(x - 2) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = 2$

Exemple — équation à passer à zéro

Résoudre $(x+1)^2 = 9$.

$(x+1)^2 - 9 = 0 \iff (x+1-3)(x+1+3) = 0$

$(x - 2)(x + 4) = 0 \iff x = 2 \text{ ou } x = -4$

Cas particulier : $x^2 = a$

Exemple

$x^2 = 49 \iff x = 7$ ou $x = -7$.

Mise en équation et résolution de problèmes

Méthode (rappel).

1. Choisir l'inconnue.
2. Traduire l'énoncé en équation.
3. Résoudre.
4. Vérifier la cohérence avec l'énoncé (longueur > 0, âge ≥ 0…).

À retenir

• Produit nul : $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$.
• Pour résoudre $x^2 - k = 0$ ou $(x-a)^2 = k^2$ : factoriser d'abord.
• $x^2 = a$ : deux solutions si $a > 0$, une si $a = 0$, aucune si $a < 0$.
• Toujours vérifier la cohérence des solutions avec l'énoncé.